Geometría Analítica en R³:
Existe varias formas de representar un plano, dependiendo de los componentes y de como se vea al mismo. Existe desde planos con un solo eje hasta planos con n ejes ( son planos inimaginables).
En R² se lo representa de esta manera:
R x R = R²
Y gráficamente:
En cambio los planos en R³, que se los representa:
R x R x R = R³
Y gráficamente:
Como se observa existen 3 planos coordenados:
XOY, el cuál es formado por el eje OX ^ el eje OY.
YOZ, el cuál es formado por el eje OY ^ el eje OZ.
XOZ, el cuál es formado por el eje OX ^ el eje OZ.
Función Implícita de dos variables:
i) x= f(y)
En este caso X es la variable dependiente y Y la independiente
ii) y= g(x)
Aquí la variable dependiente es Y y la independiente es X
Geométricamente una función implícita de 2 variables, representa una curva en R² o en el plano.
Como por ejemplo: $${ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }=25$$
En donde existe dos posibilidades:
i)
$$y=±\sqrt { 25-{ x }^{ 2 } }$$
ii)
$$x=±\sqrt { 25-{ y }^{ 2 } }$$
La intersección de 2 funciones implícitas crea uno o más puntos.
F(x,y)
G(x,y)
Función Implícita de tres variables:
En donde x es la variable dependiente y z,y independientes,
ii) y = f(x,z)
En donde y es la variable dependiente y x,z independientes.
iii) z= f(x,y)
En donde z es la variable dependiente y x,y independientes.
Geométricamente esta función representa una superficie cilindrica en el espacio.
Existen casos particulares en donde:
Si f(x,y)=0; quiere decir que tiene una generatriz paralela al eje OZ.
Si f(x,z)=0; tiene una generatriz paralela al eje OY.
Si f(y,z)=0; tiene una generatriz paralela al eje OX.
Ejemplo:
$${ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }=\quad 36$$
En donde existen 3 posibles respuestas:
i) $${ x }=\pm \sqrt { 25-z^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }$$
ii) $${ y }=\pm \sqrt { 25-x^{ 2 }-{ z }^{ 2 } }$$
iii) $${ z }=\pm \sqrt { 25-x^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }$$
La intersección de dos superficies en el espacio genera curvas.
Sistema de dos funciones implícitas
F(x,y,z)=0
G(x,y,z)=0
 |
| Paraboloide intersección con eje se obtiene parábolas |
F(x,y,z)
G(x,y,z)
H(x,y,z)
LA RECTA EN R³
La ecuación de la recta se puede encontrar dependiendo de los datos. Existen dos casos:
1°Caso:
Datos:
Punto: $${ M }_{ o }\quad (\vec { { r }_{ o } } )$$
Vector Director: $$\vec { a } =(l,m,n)$$
Por demostrar: Ecuaciones de la recta L
Después de una serie de procesos se obtuvo la ecuación:
$$\frac { x-{ x }_{ o } }{ l } =\frac { y-{ y }_{ o } }{ m } =\frac { z-{ z }_{ o } }{ n } \quad \rightarrow \quad Ecuaciones\quad Canónicas\quad de\quad la\quad Recta$$
Lunes, 6 de Octubre de 2014
2°Caso:
Datos:
$${ M }_{ 1 }(\vec { { r }_{ 1 } } )\\ { M }_{ 2 }(\vec { { r }_{ 2 } } )\\ Por\quad demostrar:\quad Ecuación\quad de\quad la\quad Recta$$
Demostración:
$$\frac { x-{ x }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } =\frac { y-{ y }_{ 1 } }{ { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } } =\frac { z-{ z }_{ 1 } }{ { z }_{ 2 }-{ z }_{ 1 } } \quad \rightarrow \quad Ecuaciones\quad Canónicas$$
Distancia entre un Punto y una Recta:
Datos:
$${ M }_{ 1 }=(\vec { { r }_{ 1 } } )\\ L:\quad \vec { r } =\vec { { r }_{ o } } +t\vec { a } \\ PD:\quad { d }_{ 1 },{ M }_{ 1 }\\$$
Después de una serie de procesos se obtuvo la ecuación:
$${ d }_{ L }{ M }_{ 1 }=\parallel \hat { a } \times (\vec { { r }_{ 1 } } -\vec { { r }_{ o } } )\parallel $$
Ángulo entre dos rectas:
Datos:
$${ L }_{ 1 }:\overrightarrow { r } =\overrightarrow { { r }_{ o1 } } +t\overrightarrow { { a }_{ 1 } } \\ { L }_{ 2 }:\vec { r } =\overrightarrow { { r }_{ o2 } } +t\overrightarrow { { a }_{ 2 } } \\ PD:\quad \measuredangle { \quad L }_{ 1 },{ L }_{ 2 }$$
Demostración:$${ M }_{ 1 }=(\vec { { r }_{ 1 } } )\\ L:\quad \vec { r } =\vec { { r }_{ o } } +t\vec { a } \\ PD:\quad { d }_{ 1 },{ M }_{ 1 }\\$$
Después de una serie de procesos se obtuvo la ecuación:
$${ d }_{ L }{ M }_{ 1 }=\parallel \hat { a } \times (\vec { { r }_{ 1 } } -\vec { { r }_{ o } } )\parallel $$
Ángulo entre dos rectas:
Datos:
$${ L }_{ 1 }:\overrightarrow { r } =\overrightarrow { { r }_{ o1 } } +t\overrightarrow { { a }_{ 1 } } \\ { L }_{ 2 }:\vec { r } =\overrightarrow { { r }_{ o2 } } +t\overrightarrow { { a }_{ 2 } } \\ PD:\quad \measuredangle { \quad L }_{ 1 },{ L }_{ 2 }$$
$$\vec { { a }_{ 1 } } \cdot \vec { { a }_{ 2 } } =\parallel \vec { { a }_{ 1 } } \parallel \parallel \vec { { a }_{ 2 } } \parallel cos\theta \\ cos\theta =\frac { \vec { { a }_{ 1 } } \cdot \vec { { a }_{ 2 } } }{ \parallel \vec { { a }_{ 1 } } \parallel \parallel \vec { { a }_{ 2 } } \parallel } \\ cos\theta =\hat { { a }_{ 1 } } \hat { { a }_{ 2 } } \\ \theta ={ cos }^{ -1 }(\hat { { a }_{ 1 } } \cdot \hat { { a }_{ 2 } } )\quad \leftarrow ángulo\quad entre\quad { L }_{ 1 }\quad y\quad { L }_{ 2 }$$
El Plano en R³
Para encontrar la ecuación del plano depende de los datos que poseamos, aquí veremos varias formas:
Datos:
$${ M }_{ o }=(\vec { { r }_{ o } } )\\ \vec { n } =A\vec { i } +B\vec { j } +C\vec { k } \rightarrow vector\quad normal\\ PD:\quad Ecuaciones\quad del\quad plano\quad \pi $$
Datos:
$${ M }_{ o }=(\vec { { r }_{ o } } )\\ \vec { n } =A\vec { i } +B\vec { j } +C\vec { k } \rightarrow vector\quad normal\\ PD:\quad Ecuaciones\quad del\quad plano\quad \pi $$
$${ A }_{ X }+{ B }_{ Y }+{ C }_{ Z }+D\quad =0\rightarrow ec.\quad general\quad del\quad plano$$
Para un Plano de Primer Orden
Ecuaciones Incompletas del Plano:
Primer Caso:
Si C=0, entonces es un plano con generatriz paralela al eje OZ.
Segundo Caso:
Si C=0 y D=0, entonces es un plano que le contiene al eje OZ y la generatriz es paralela al mismo.
Tercer Caso:
Si B=0 y C=0 Y D≠0, entonces es un plano con generatrices paralelas a los ejes OY y OZ.
Ecuaciones Segmentarias del Plano:
$${ A }_{ X }+{ B }_{ Y }+{ C }_{ Z }+D=0\\ { A }_{ X }+{ B }_{ Y }+{ C }_{ Z }=-D\\ \frac { X }{ -\frac { D }{ A } } +\frac { Y }{ -\frac { D }{ B } } +\frac { Z }{ -\frac { D }{ C } } =\frac { -D }{ -D } \\ \frac { X }{ a } +\frac { Y }{ b } +\frac { Z }{ c } =1\leftarrow ec\quad segmentaria$$
$${ A }_{ X }+{ B }_{ Y }+{ C }_{ Z }+D=0\\ { A }_{ X }+{ B }_{ Y }+{ C }_{ Z }=-D\\ \frac { X }{ -\frac { D }{ A } } +\frac { Y }{ -\frac { D }{ B } } +\frac { Z }{ -\frac { D }{ C } } =\frac { -D }{ -D } \\ \frac { X }{ a } +\frac { Y }{ b } +\frac { Z }{ c } =1\leftarrow ec\quad segmentaria$$
Debemos tener en cuenta que todo plano interseca con alguno de los ejes coordenados siempre.
Ecuación Normal del Plano:
Datos:
$$\hat { n } =(cos\alpha .\quad cos\beta ,\quad cos\gamma )\\ \rho =k\quad (distancia\quad desde\quad el\quad o\quad a\quad cualquier\quad punto\\ PD:\quad Ecuación\quad del\quad Plano\quad \pi \\ \rho =\quad Proyección\quad de\vec { r } sobre\quad \vec { n } $$
Para estos datos usamos la ecuación:
$$0=xcos\alpha +ycos\beta +zcos\gamma -\rho \quad \rightarrow ec.\quad normal\quad del\quad plano\quad \pi $$
$$\hat { n } =(cos\alpha .\quad cos\beta ,\quad cos\gamma )\\ \rho =k\quad (distancia\quad desde\quad el\quad o\quad a\quad cualquier\quad punto\\ PD:\quad Ecuación\quad del\quad Plano\quad \pi \\ \rho =\quad Proyección\quad de\vec { r } sobre\quad \vec { n } $$
Para estos datos usamos la ecuación:
$$0=xcos\alpha +ycos\beta +zcos\gamma -\rho \quad \rightarrow ec.\quad normal\quad del\quad plano\quad \pi $$
Factor Normalizante:
$$u=\pm \frac { 1 }{ \sqrt { { A }^{ 2 }+{ B }^{ 2 }+{ C }^{ 2 } } } $$
Distancia entre un punto y un Plano:
Existen dos formas de encontrar la ecuación, dependiendo de los datos que tenga:
Si se tiene de Datos $$\vec { { u }_{ N } } ,\vec { { r }_{ 1 } } ,\rho $$
$$d=\hat { n } \bullet \vec { { r }_{ 1 } } -\rho $$
Cuando tenemos de Datos la ecuación del plano y las coordenadas del punto:
$$d=\frac { { A }_{ X1 }+{ B }_{ Y1 }+{ C }_{ Z1 } }{ \sqrt { { A }^{ 2 }+{ B }^{ 2 }+{ C }^{ 2 } } }$$
Ecuación de un Plano dado tres puntos:
Se realiza una operación de producto de vectores mixto (producto cruz y producto punto), tomando en cuenta que el Producto mixto de 3 vectores es igual a cero, entonces son coplanares.
Geometricamente esta operación es el volumen de un paralelepípedo donde sus aristas son los tres vectores involucrados.
$$(\vec { r } -\vec { { r }_{ 1 } } )\bullet \left[ \left( \vec { { r }_{ 2 } } -\vec { { r }_{ 1 } } \right) \times \left( \vec { { r }_{ 3 } } -\vec { { r }_{ 1 } } \right) \right] =0$$
Recta Determinada en la Intersección de dos planos:
Con la ecuación de cada plano podemos expresar la ecuación de la recta que es el resultado de su intersección.
Su ecuación en componentes cartesianas son:
$$\frac { X-{ X }_{ O } }{ l } =\frac { Y{ -Y }_{ 0 } }{ m } =\frac { Z-{ Z }_{ O } }{ n } $$
Donde (l.m.,n) son componentes del vector director obtenido del producto cruz de los vectores normales de los planos.
Mirar ejemplo:
https://www.youtube.com/watch?v=KV_lpowVN08
Haz de Planos:
$$\left( { A }_{ 1 }+\lambda { A }_{ 2 } \right) X+\left( { B }_{ 1 }+\lambda { B }_{ 2 } \right) Y+\left( { C }_{ 1 }+\lambda { C }_{ 2 } \right) Z+\left( { D }_{ 1 }+\lambda { D }_{ 2 } \right) =0\\ Donde\quad \lambda \quad \neq \quad 0\\ Infinitos\quad Planos,\quad entonces\quad \lambda \quad toma\quad infinitos\quad valores$$
Ecuación vectorial de la esfera:
$${ \left( \vec { r } -\vec { { r }_{ o } } \right) }^{ 2 }={ R }^{ 2 }\\ Donde:\\ \vec { { r }_{ o } } \quad es\quad el\quad vector\quad que\quad contiene\quad al\quad origen\\ \vec { r } \quad es\quad un\quad vector\quad en\quad cualquier\quad punto\quad de\quad la\quad esfera\\ R\quad es\quad el\quad radio$$
Ecuación Cartesiana o General:
$${ \left( x-{ x }_{ o } \right) }^{ 2 }+{ \left( y-{ y }_{ o } \right) }^{ 2 }+{ \left( z-{ z }_{ o } \right) }^{ 2 }={ R }^{ 2 }$$
Cuando el centro esta en el origen
$$\vec { { r }_{ o } } =(o,o,o)\\ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }={ R }^{ 2 }$$
13 de Octubre de 2014
Superficies de Segundo Orden
Se tiene de ecuación:
$$A{ x }^{ 2 }+B{ y }^{ 2 }+C{ z }^{ 2 }+Exy+Fxz+Hyz+Ix+Ky+Lz+M=0$$
Se las llama cuadráticas ya que al menos una de sus variables están elevadas al cuadrado, para encontrar la gráfica a partir de una ecuación se realiza una serie de procedimientos que nos ayudará a tener idea de como va a ser nuestra gráfica e irla formando con cada segmento que calculamos.
1.-Lo primero que se hace es la Intersección con los ejes coordenados.
$$A{ x }^{ 2 }+B{ y }^{ 2 }+C{ z }^{ 2 }+Exy+Fxz+Hyz+Ix+Ky+Lz+M=0$$
Se las llama cuadráticas ya que al menos una de sus variables están elevadas al cuadrado, para encontrar la gráfica a partir de una ecuación se realiza una serie de procedimientos que nos ayudará a tener idea de como va a ser nuestra gráfica e irla formando con cada segmento que calculamos.
1.-Lo primero que se hace es la Intersección con los ejes coordenados.
- Con el eje ox, sabemos que z y y son iguales a cero, reemplazamos en la ecuación y se encuentra los puntos 1 y 2 que están en el lado positivo y negativo de este eje.
- Con el eje oy, sabemos que x y z son iguales a cero, se reemplaza en la ecuación y se tiene los puntos 3 y 4 que están en el lado positivo y negativo de este eje recíprocamente.
- Con el eje oz, se conoce que x y y son iguales a cero, realizamos el mismo proceso anteriores y se tiene los puntos 5 y 6 que están en el lado positivo y negativo de la recta.
- Graficamos estos puntos en el espacio de tres dimensiones.
2.-A continuación de hallar los puntos, procedemos a encontrar la intersección con los planos coordenados.
- Con el plano xoy: Se sabe que en este plano z =0 entonces se reemplaza en la ecuación y se obtiene la curva que esta en este plano.
- Con el plano xoz: En este plano y =0, se procede a igualar en la ecuación y se obtiene la curva en este plano.
- Con el plano yoz: Se conoce que aquí x =0, se realiza el mismo procedimiento anterior y se obtiene a curva que interseca este plano.
- Graficamos cada intersección con su respectivo procedimiento.
3.-Antes de finalizar se busca la intersección con los planos paralelos a los planos coordenados
- Paralelos al plano xoy, aquí se conoce que z es k, se iguala en la ecuación y se procede a convertir a la ecuación en segmentaria.
- Paralelos al plano xoz, y=k, se iguala la ecuación y se convierte en segmentaria
- Paralelos al plano yoz, aquí x=k y se realiza el mismo procedimiento anterior
- En este paso se obtienen las ecuaciones de la familia de curvas que se generan en el gráfico.
- Finalmente graficamos los segmentos de curva o curvas que encontramos anterior mente.
Existen varias superficies cuadricas, pero hay algunas que resaltan más o se las conoce más, y son:
16 de Octubre de 2014
FUNCIONES VECTORIALES Y CURVAS EN R³
Se le puede representar de varias maneras como:
$$\vec { f(t) } =\left( { f }_{ 1 }(t);{ f }_{ 2 }(t);{ f }_{ 3 }(t) \right) $$
$$\vec { f(t) } =({ f }_{ x }(t);{ f }_{ y }(t);{ f }_{ z }(t)$$
De Igual manera, existe un caso particular en el plano cartesiano donde es un vector con dos componentes y gráficamente representa una curva plana en el espacio.
- Cada componente es una función escalar
CASO GENERAL:
$$F:\quad D\subseteq \Re \rightarrow { \Re }^{ n }$$
Vector de n componentes:
$$\vec { f(t) } =({ x }_{ 1 }(t);{ x }_{ 2 }(t);....;{ x }_{ n }(t)$$
El domino sería:
$$DomF=Df\cap D{ f }_{ 2 }...\cap D{ f }_{ n }$$
Y su rango sería:
$$RangoF=Df\cup D{ f }_{ 2 }...\cup D{ f }_{ n }$$
Ejemplo:
$$\vec { r(t) } =(\sqrt { 4-{ t }^{ 2 } } ,{ e }^{ -3t },ln(t+1))$$
Primera Función:
Ejemplo:
$$\vec { r(t) } =(\sqrt { 4-{ t }^{ 2 } } ,{ e }^{ -3t },ln(t+1))$$
Primera Función:
$$\sqrt { 4-{ t }^{ 2 } } \ge 0$$
$${ t }^{ 2 }\le 4$$
$$Dom:\quad -2\le \quad t\quad \le 2$$
$${ t }^{ 2 }\le 4$$
$$Dom:\quad -2\le \quad t\quad \le 2$$
Segunda Función:
$${ e }^{ -3t }$$
$$Dom:\quad \Re $$
$$t+1\quad >0$$
$$Dom:\quad t>-1$$
Entonces, el dominio sería ]-1,∞[
Límites de una Función Vectorial:
Existirá Límite en una Función vectorial Si y solo si los límites de cada una de las funciones componentes:
$$\vec { r(t) } =(\lim _{ t\rightarrow 0 }{ { f }_{ 1 }(t) } \lim _{ t\rightarrow 0 }{ { f }_{ 2 }(t) } \lim _{ t\rightarrow 0 }{ { f }_{ 3 }(t) } )$$
Continuidad de una Función Vectorial:
La función vectorial tendrá límite si cumple:
$$\lim _{ t\rightarrow a }{ \vec { f(t) } } =\vec { f(a) } $$
Derivadas e Integrales:
Las Derivadas e Integrales de una función vectorial funciona de la misma manera
Existe si cada una de sus componentes son derivables y de igual manera en al integrar.
Ecuación cartesiana de la curva
Ejemplo:
Hallar la ecuación cartesiana de la curva y su grafica
$$x(t)=t\quad \rightarrow x=t$$
$$y(x)={ t }^{ 2 }\rightarrow \quad y={ t }^{ 2 }$$
Igualamos los parametros haciendo las operaciones necesarias:
$$y={ x }^{ 2 }$$
27 de Octubre de 2014
Análisis de la función $$\vec { F(t) }$$ que representa la posición de una partícula
$$i)\vec { F'(t) } =\quad \vec { v(t) } $$
$$ii)\vec { F'(t) } =\vec { a(t) } $$
Tercera Función
$$ln(t+1)$$$$t+1\quad >0$$
$$Dom:\quad t>-1$$
Entonces, el dominio sería ]-1,∞[
Límites de una Función Vectorial:
Existirá Límite en una Función vectorial Si y solo si los límites de cada una de las funciones componentes:
$$\vec { r(t) } =(\lim _{ t\rightarrow 0 }{ { f }_{ 1 }(t) } \lim _{ t\rightarrow 0 }{ { f }_{ 2 }(t) } \lim _{ t\rightarrow 0 }{ { f }_{ 3 }(t) } )$$
Continuidad de una Función Vectorial:
La función vectorial tendrá límite si cumple:
$$\lim _{ t\rightarrow a }{ \vec { f(t) } } =\vec { f(a) } $$
Derivadas e Integrales:
Las Derivadas e Integrales de una función vectorial funciona de la misma manera
Existe si cada una de sus componentes son derivables y de igual manera en al integrar.
Ecuación cartesiana de la curva
Ejemplo:
Hallar la ecuación cartesiana de la curva y su grafica
$$x(t)=t\quad \rightarrow x=t$$
$$y(x)={ t }^{ 2 }\rightarrow \quad y={ t }^{ 2 }$$
Igualamos los parametros haciendo las operaciones necesarias:
$$y={ x }^{ 2 }$$
27 de Octubre de 2014
Análisis de la función $$\vec { F(t) }$$ que representa la posición de una partícula
- Donde la primera derivada de la función representa el vector velocidad de la particula:
$$i)\vec { F'(t) } =\quad \vec { v(t) } $$
- Si sacamos la segunda derivada de la posición obtenemos el vector aceleración:
$$ii)\vec { F'(t) } =\vec { a(t) } $$
TIEDRO MÓVIL
Se lo denomina así ya que se puede mover por cualquier punto de la trayectoria:
Como ecuaciones de cada recta concluimos:
Vector Binormal:
$$\vec { B } =\vec { r'(t) } \times \vec { r''(t) } $$
Vector Normal:
$$\vec { N } =\vec { B } \times \vec { T } $$
Todos estos datos que se encuentran en las ecuaciones los obtenemos de la función vectorial que representa la posición de la curva.
Como la curva es alabeada entonces obtenemos dos ecuaciones de la misma, una en función de su posición y otra en función de su longitud de arco.
$$\vec { r(t) } =f(t)\hat { i } ;g(t)\hat { j } ;h(t)\hat { k } $$
$$\vec { r(s) } ={ \varphi }_{ 1 }(s)\hat { i } ;{ \varphi }_{ 2 }(s)\hat { j } ;{ \varphi }_{ 3 }(s)\hat { k } $$
30 de Octubre del 2014
En esta clase demostramos y fijamos ecuaciones para cada recta y plano:
Recta Tangente:(RT)
$$\frac { x-{ x }_{ o } }{ { T }_{ x } } =\frac { y-{ y }_{ o } }{ { T }_{ y } }= \frac { z-{ z }_{ o } }{ { T }_{ z } }$$
Recta Binormal:(RB)
$$\frac { x-{ x }_{ o } }{ { B }_{ x } } =\frac { y-{ y }_{ o } }{ { B }_{ y } }= \frac { z-{ z }_{ o } }{ { B }_{ z } } $$
Recta Normal Principal:(RNP)
$$\frac { x-{ x }_{ o } }{ { N }_{ x } } =\frac { y-{ y }_{ o } }{ { N }_{ y } } =\frac { z-{ z }_{ o } }{ N_{ z } }$$
Plano Obsculador:(PO)
$${ B }_{ X }(x-{ x }_{ o })+{ B }_{ y }(y-{ y }_{ o })+{ B }_{ Z }(z-{ z }_{ o })=0$$
Plano Rectificantes: (PR)
$${ N }_{ X }(x-{ x }_{ o })+{ N }_{ y }(y-{ y }_{ o })+{ N }_{ Z }(z-{ z }_{ o })=0$$
Plano Normal: (PN)
$${ T }_{ X }(x-{ x }_{ o })+{ T }_{ y }(y-{ y }_{ o })+{ T }_{ Z }(z-{ z }_{ o })=0$$
Mientras más cerca este P de Q más se cumple la norma:
$$\left\| \frac { \vec { dr } }{ dt } \right\| =\frac { ds }{ dt } $$
Tipos de curvatura:
En la clase estudiamos dos tipos de curvatura:
Curvatura de Flexión.-
También se lo puede llamar curvatura, se define de la siguiente manera:
$$k=\lim _{ \Delta s\rightarrow o }{ \frac { \Delta \theta }{ \Delta t } } =\left\| \frac { \vec { dT } }{ ds } \right\| $$
$$\vec { k } =\frac { \hat { dT } }{ ds } $$
$$\frac { \hat { dT } }{ ds } =k\hat { N } $$
$$\rho k=\frac { 1 }{ k } \rightarrow radio\quad de\quad curvatura$$
Se entiende como la razón de cambio de dirección del vector tangente con respecto a la longitud de arco
Curvatura de Torsión:
Representa el alejamiento o acercamiento del plano osculador a la curva C, se define:
$$\tau =\lim _{ \Delta s\rightarrow o }{ \frac { \Delta \phi }{ \Delta s } = } -\left\| \frac { \hat { dB } }{ ds } \right\| $$
$$\tau =-\frac { \vec { dB } }{ ds } $$
$$\frac { \hat { dB } }{ ds } =\tau \hat { N } $$
$$\rho \tau =\frac { 1 }{ \tau } \rightarrow radio\quad de\quad curvatura\quad de\quad torsión$$
$$\vec { N } =\vec { B } \times \vec { T } $$
Todos estos datos que se encuentran en las ecuaciones los obtenemos de la función vectorial que representa la posición de la curva.
Como la curva es alabeada entonces obtenemos dos ecuaciones de la misma, una en función de su posición y otra en función de su longitud de arco.
$$\vec { r(t) } =f(t)\hat { i } ;g(t)\hat { j } ;h(t)\hat { k } $$
$$\vec { r(s) } ={ \varphi }_{ 1 }(s)\hat { i } ;{ \varphi }_{ 2 }(s)\hat { j } ;{ \varphi }_{ 3 }(s)\hat { k } $$
30 de Octubre del 2014
En esta clase demostramos y fijamos ecuaciones para cada recta y plano:
Recta Tangente:(RT)
$$\frac { x-{ x }_{ o } }{ { T }_{ x } } =\frac { y-{ y }_{ o } }{ { T }_{ y } }= \frac { z-{ z }_{ o } }{ { T }_{ z } }$$
Recta Binormal:(RB)
$$\frac { x-{ x }_{ o } }{ { B }_{ x } } =\frac { y-{ y }_{ o } }{ { B }_{ y } }= \frac { z-{ z }_{ o } }{ { B }_{ z } } $$
Recta Normal Principal:(RNP)
$$\frac { x-{ x }_{ o } }{ { N }_{ x } } =\frac { y-{ y }_{ o } }{ { N }_{ y } } =\frac { z-{ z }_{ o } }{ N_{ z } }$$
Plano Obsculador:(PO)
$${ B }_{ X }(x-{ x }_{ o })+{ B }_{ y }(y-{ y }_{ o })+{ B }_{ Z }(z-{ z }_{ o })=0$$
Plano Rectificantes: (PR)
$${ N }_{ X }(x-{ x }_{ o })+{ N }_{ y }(y-{ y }_{ o })+{ N }_{ Z }(z-{ z }_{ o })=0$$
Plano Normal: (PN)
$${ T }_{ X }(x-{ x }_{ o })+{ T }_{ y }(y-{ y }_{ o })+{ T }_{ Z }(z-{ z }_{ o })=0$$
$$\left\| \frac { \vec { dr } }{ dt } \right\| =\frac { ds }{ dt } $$
Tipos de curvatura:
En la clase estudiamos dos tipos de curvatura:
Curvatura de Flexión.-
También se lo puede llamar curvatura, se define de la siguiente manera:
$$k=\lim _{ \Delta s\rightarrow o }{ \frac { \Delta \theta }{ \Delta t } } =\left\| \frac { \vec { dT } }{ ds } \right\| $$
$$\vec { k } =\frac { \hat { dT } }{ ds } $$
$$\frac { \hat { dT } }{ ds } =k\hat { N } $$
$$\rho k=\frac { 1 }{ k } \rightarrow radio\quad de\quad curvatura$$
Se entiende como la razón de cambio de dirección del vector tangente con respecto a la longitud de arco
Curvatura de Torsión:
Representa el alejamiento o acercamiento del plano osculador a la curva C, se define:
$$\tau =\lim _{ \Delta s\rightarrow o }{ \frac { \Delta \phi }{ \Delta s } = } -\left\| \frac { \hat { dB } }{ ds } \right\| $$
$$\tau =-\frac { \vec { dB } }{ ds } $$
$$\frac { \hat { dB } }{ ds } =\tau \hat { N } $$
$$\rho \tau =\frac { 1 }{ \tau } \rightarrow radio\quad de\quad curvatura\quad de\quad torsión$$
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