ENERO

Puntos Extremos

Máximos y mínimos relativos:

Una función z=f(x,y) tiene un máximo relativo (MR) en (a,b)

• Si: f(x,y)≤ f(a,b), cuando (x,y) está cerca de (a,b). El valor (a,b) recibe el nombre de máximo relativo de f(x,y).
• Si f(x,y)≥ f(a,b), cuando (x,y) está cerca de (a,b), entonces se dice que f(x,y) tiene un mínimo relativo (mR) en (a,b).

NOTA: Un punto de silla son puntos donde la f(x,y) presenta un MR con respecto a la una variable y un mR con respecto a la otra, a la vez.

Criterio de la segunda derivada:

Hallar las derivadas parciales de f con respecto a x y a y.

Igualar a cero las derivadas parciales encontradas anteriormente y encontrar los puntos críticos.

Hallar las derivadas parciales de segundo orden Fxx; Fxy; Fyy.

Determinar cada segunda derivada en los puntos críticos.

Formar el determinante Jessiano: 

Aquí hay un video explicativo de Máximos y Mínimos:

Máximos y Mínimos absolutos:

Toda función diferenciable en una región acotada y encerrada alcanza un valor máximo o mínimo, ó en un punto estacionario, ó en un punto de la frontera de la región.

Máximos y Mínimos Condicionados:Método de multiplicadores de Lagrange

Se denomina extremo condicionada de una función f(x,y), al valor máxim o mínimo de esta función alcanzadi con la condición (restricción) de que las variables independientes estén relacionadas con una ecuación de enlace: g(x,y)=0.

 Para hallar estos extremos condicionados debemos formar una FUNCIÓN DE LAGRANGE:

$$F(x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda g(x,y)$$

$$Donde:\quad \lambda :\quad Multiplicador\quad de\quad lagrange\quad parámetro\quad constante\quad indeterminado\quad $$

Después se procede a derivar parcialmente la función de Lgrange con respecto a "x", "y" y "ƛ".

Ejemplos:

Integrales Múltiples

Generalmente la Integral doble representa el volumen bajo la superficie y sobre la región R ubicada en el plano XOY, en la gráfica.
Existe una diferencial por cada variable.

Integrales sobre regiones rectangulares:
$$\iint { f(x,y)dxdy } =\int _{ a }^{ b }{ \left[ \int _{ c }^{ d }{ f(x,y)dy }  \right]  } dx$$
Estas se llaman integrales iteradas y se pueden cambiar el orden pero solamente si son rectangulares

Las integrales se dan sobre regiones acotadas por un rectángulo de vértices (a,b,c,d).

Integrales dobles sobre regiones más generales:
Los diferenciales que tengan como límite una constante siempre van en la ultima integral a calcular, mientras se va rsolviendo las integrales con límites variables.
Aquí hay un ejemplo más simple

Transformación de Integrales Múltiples:

Cuando se necesita calcular el volumen de una superficie un poco más compleja es necesario convertir las coordenadas a polares, cilíndricas o esféricas para facilitar la integral con ayuda del jacobiano de cada una y su diferencial como se indica a continuación.

Centro de Masa

Centro de masa es el punto donde se concidera se concentra toda la masa de un cuerpo.

1. Caso Discreto

Se da cuando se tienen pocos puntos de referencia, por lo que se puede encontrar el centro de masa fácilmente: 

2. Si es un caso donde hay "n" masas:

En este caso, simplemente se generaliza la fórmula anterior, haciendo uso de la sumaroria:

3. Caso Continuo:

Cuando el numero de masas tiende al infinito

1. Distribución de masa lineal

Cuando se tiene un cuerpo con una sola dimensión, se puede definir la siguiente igualdad

2. Distribución de masa superficial

Si se tiene un cuerpo de dos dimensiones, se utiliza un diferencial de área, y se define la siguiente igualdad:

3. Distribución de masa volumétrica

Cuando se tiene un cuerpo sólido de 3 dimesiones, para lo que se usa un diferencial de volumen, y se forma la igualdad:

 

INTEGRALES DE LINEA

Son similares a las integrales simples solo que en vez de integrar en un intervalo [a,b] se integra en una curva C.

Estas Integrales resuelven problemas relacionados con el flujo de fluidos, fuerzas, electricidad y magnetismo 

Antes de comenzar a resolver es necesario parametrizar la función

$$\int { f(x,y) } =\int _{ { t }_{ o } }^{ { t }_{ f } }{ f(x(t),y(t))\sqrt { { \dot { x }  }^{ 2 }+{ \dot { y }  }^{ 2 } } dt } $$

Cuando se tiene los puntos inicial y final del segmento rectilineo la representación vectorial para la parametrización es:

$$f(t)={ x }_{ o }+t({ x }_{ f }{ -x }_{ 0 })$$

Integrales de Linea en el espacio:

$$r(t)=x(t)\vec { i } +y(t)\vec { j } +z(t)\vec { z }$$

Entonces la integral de línea de f a lo largo de C, con respecto a la longitud de arco es:
$$\int { f(x,y,z) } =\int _{ a }^{ b }{ f(x(t),y(t),z(t))\sqrt { \left( \frac { dx }{ dt }  \right) ^{ 2 }+{ \left( \frac { dy }{ dt }  \right)  }^{ 2 }{ +\left( \frac { dz }{ dt }  \right)  }^{ 2 } } dt } $$

Teorema Fundamental de las Integrales de Linea:
$$F=P\vec { i } +Q\vec { j } +R\vec { k }$$
$$\int { \vec { \nabla f } d\vec { r }  } =f(\overrightarrow { r } (b))-f(\overrightarrow { r } (a))$$

Debe ser un campo conservativo para eso cumple que:
$$\frac { \partial P }{ \partial y } =\frac { \partial Q }{ \partial x } ;\frac { \partial Q }{ \partial z } =\frac { \partial R }{ \partial y } ;\quad \frac { \partial P }{ \partial z } =\frac { \partial R }{ \partial x } $$

Independencia de la Trayectoria:

Suponga que C1 y C2 son dos curvas uniformes por segmentos (denominadas trayectorias)
que tienen el mismo punto inicial A y el punto final B, cuando es continuo cumple que la integral de la curva C1 es igual a la integral de la curva C2.

En otras palabras, la integral de línea de un campo vectorial conservativo depende sólo del punto inicial y del punto final de la curva.
En general, si F es un campo vectorial continuo cuyo dominio es D, la integral de línea es independiente de la trayectoria.

Conservación de la Energía:

El trabajo que efectúa la fuerza sobre un objeto es:

Teorema de Green:

Relaciona la integral de línea sobre la curva con el área que encierra la curva.
Este teorema solo se aplica para trayectorias cerradas

$$\oint { Pdx+Qdy=\iint { \left( \frac { \partial Q }{ \partial x } -\frac { \partial P }{ \partial y }  \right) dA }  } $$

Rotacional y Divergencia:

Aplicaciones