Derivadas Parciales de Orden Superior
En R²$$f^{ ' }\left( x \right) =\frac { { d }_{ y } }{ { d }_{ x } } \\ f^{ '' }\left( x \right) =\frac { d }{ { d }_{ x } } \left[ \frac { { d }_{ y } }{ { d }_{ x } } \right] \\ f^{ n }\left( x \right) =\frac { d }{ { d }_{ x } } \left[ \frac { { { d }^{ n-1 } }_{ y } }{ { d }_{ { x }^{ n-1 } } } \right]$$
En R³:
Existen 2 a la n derivadas de orden "n".
$$\frac { { \partial f } }{ \partial x } \rightarrow \frac { \partial }{ \partial x } \left[ \frac { \partial f }{ \partial x } \right] =\frac { { \partial }^{ 2 }f }{ \partial { x }^{ 2 } } \wedge \quad \frac { \partial }{ \partial y } \left[ \frac { \partial f }{ \partial x } \right] =\frac { { \partial }^{ 2 }f }{ \partial { y }\partial x } $$
$$\frac { { \partial f } }{ \partial y } \rightarrow \frac { \partial }{ \partial y } \left[ \frac { \partial f }{ \partial x } \right] =\frac { { \partial }^{ 2 }f }{ \partial y\partial x } \wedge \quad \frac { \partial }{ \partial y } \left[ \frac { \partial f }{ \partial y } \right] =\frac { { \partial }^{ 2 }f }{ \partial { y }^{ 2 } } $$
Cumple esta igualdad di f(x,y) es continua:
$$\frac { { \partial }^{ 2 }f }{ \partial y\partial x } =\frac { { \partial }^{ 2 }f }{ \partial { x }\partial y } $$
En 4 dimensiones:
(x,y,z) -> w= f(x,y,z)
$$\frac { { \partial f } }{ \partial x } \rightarrow \frac { \partial }{ \partial x } \left[ \frac { \partial f }{ \partial x } \right] =\frac { { \partial }^{ 2 }f }{ \partial { x }^{ 2 } } ,\quad \frac { \partial }{ \partial y } \left[ \frac { \partial f }{ \partial x } \right] =\frac { { \partial }^{ 2 }f }{ \partial { y }\partial x } \wedge \quad \frac { \partial }{ \partial z } \left[ \frac { \partial f }{ \partial x } \right] =\frac { { \partial }^{ 2 }f }{ \partial { z }\partial x } $$
$$\frac { { \partial f } }{ \partial y } \rightarrow \frac { \partial }{ \partial y } \left[ \frac { \partial f }{ \partial x } \right] =\frac { { \partial }^{ 2 }f }{ \partial y\partial x } ,\quad \frac { \partial }{ \partial y } \left[ \frac { \partial f }{ \partial y } \right] =\frac { { \partial }^{ 2 }f }{ \partial { y }^{ 2 } } \wedge \quad \frac { \partial }{ \partial z } \left[ \frac { \partial f }{ \partial y } \right] =\frac { { \partial }^{ 2 }f }{ \partial { z }\partial y } $$
$$\frac { { \partial f } }{ \partial z } \rightarrow \frac { \partial }{ \partial y } \left[ \frac { \partial f }{ \partial z } \right] =\frac { { \partial }^{ 2 }f }{ \partial y\partial z } ,\quad \frac { \partial }{ \partial z } \left[ \frac { \partial f }{ \partial z } \right] =\frac { { \partial }^{ 2 }f }{ \partial z^{ 2 } } \wedge \quad \frac { \partial }{ \partial x } \left[ \frac { \partial f }{ \partial z } \right] =\frac { { \partial }^{ 2 }f }{ \partial { x }\partial z } $$
Existen 3 (n) derivadas parciales de orden "n"
Las derivadas parciales aparecen en ciertas ecuaciones diferenciales que expresan leyes físicas, tales como: La ecuación unidimensional del calor: $$\frac { \partial u }{ \partial t } =k\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { x }^{ 2 } } $$
La ecuación de onda
Describe el movimiento de una onda, que puede ser una ola de mar, una onda de sonido,
una onda de luz o una onda que viaja por una cuerda que vibra.
$$\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { t }^{ 2 } } ={ a }^{ 2 }\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { x }^{ 2 } } $$
La ecuación de Laplace
Las soluciones de esta ecuación reciben el nombre de funciones armónicas, y desempeñan un papel en los problemas de conducción de calor, flujo de fluidos y potencial eléctrico.
$$\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { x }^{ 2 } } +\frac { { \partial }^{ 2 }u }{ \partial { y }^{ 2 } } =0$$
Incrementos y diferenciales
El incremento es un valor real de lo que se desea calcular mientras que el diferencial es un valor aproximado.
Para Incrementos se deduce que:
$$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$$
Los Incrementos parciales son:
Cuando x incrementa: $$\Delta { z }_{ x }=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$$
Cuando y incrementa: $$\Delta { z }_{ y }=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$$
El incremento total de la función es:
$$\Delta { z }=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$$
Se debe tomar en cuenta que:
$$\Delta z\neq \Delta { z }_{ x }+\Delta { z }_{ y }$$
Para diferenciales el incremento en x y y tiende al infinito entonces la diferencial total es:
$${ d }_{ z }=\frac { { \partial }_{ z } }{ { \partial }_{ x } } { d }_{ x }+\frac { { \partial }_{ z } }{ { \partial }_{ y } } { d }_{ y }$$
Se debe tomar en cuenta que:
$$\Delta z\neq \Delta { z }_{ x }+\Delta { z }_{ y }$$
Para diferenciales el incremento en x y y tiende al infinito entonces la diferencial total es:
$${ d }_{ z }=\frac { { \partial }_{ z } }{ { \partial }_{ x } } { d }_{ x }+\frac { { \partial }_{ z } }{ { \partial }_{ y } } { d }_{ y }$$
Derivación de funciones Compuestas:
NOTA: El número de derivadas parciales depende del número de variables independientes
Para resolver este tipo de derivadas se usa la regla de la cadena que ya se aprendió en el curso anterior, pero aquí inserto un vídeo para recordarla:
Si tenemos las funciones:
z=f(x,y); x=x(t); y=y(t)
entonces: z es variable dependiente; x,y son variable aparantes o intermedias y t es variable independiente.
La Derivada Global de esta función es:
$$\frac { { d }_{ z } }{ { d }_{ t } } =\frac { { \partial }_{ z } }{ { \partial }_{ x } } \frac { { d }_{ x } }{ { d }_{ t } } +\frac { { \partial }_{ z } }{ { \partial }_{ y } } \frac { { d }_{ y } }{ { d }_{ t } } $$
Como tenemos una solo variable independiente se usa diferenciales
En cambio si se tiene más de una variable independiente se usa derivada parcial:
z=f(x,y); x=x(u,v); y=y(u,v)
Donde z es variable dependiente; x y y son variables aparentes y u y v son variables independientes
$$\frac { { \partial }_{ z } }{ { \partial }_{ u } } =\frac { { \partial }_{ z } }{ { \partial }_{ x } } \frac { { \partial }_{ x } }{ { \partial }_{ u } } +\frac { { \partial }_{ z } }{ { \partial }_{ y } } \frac { { \partial }_{ y } }{ { \partial }_{ u } } $$
$$\frac { { \partial }_{ z } }{ { \partial }_{ v } } =\frac { { \partial }_{ z } }{ { \partial }_{ x } } \frac { { \partial }_{ x } }{ { \partial }_{ v } } +\frac { { \partial }_{ z } }{ { \partial }_{ y } } \frac { { \partial }_{ y } }{ { \partial }_{ v } } $$
$$\frac { { \partial }_{ z } }{ { \partial }_{ v } } =\frac { { \partial }_{ z } }{ { \partial }_{ x } } \frac { { \partial }_{ x } }{ { \partial }_{ v } } +\frac { { \partial }_{ z } }{ { \partial }_{ y } } \frac { { \partial }_{ y } }{ { \partial }_{ v } } $$
NOTA: El número de derivadas parciales depende del número de variables independientes
Para resolver este tipo de derivadas se usa la regla de la cadena que ya se aprendió en el curso anterior, pero aquí inserto un vídeo para recordarla:
Derivación de Funciones Implícitas:
Existen tres métodos para encontrar las derivadas de una función y son:
Por Diferenciación
Por Derivación Implícita
y Por jacobianos
Ejemplo:
1) F(x,y,u,v)=0
2) G(x,y,u,v)=0
x=x(u,v) , y=y(u,v)
Encontrar: $$\frac { \partial x }{ \partial u } ;\frac { \partial x }{ \partial v } ;\frac { \partial y }{ \partial u } ;\frac { \partial y }{ \partial v } $$
Por Diferenciación:
Por Derivación Implícita y Jacobianos:
Derivada Direccional
Se llama derivada direccional de la función z = f(x,y) en un punto P(x,y) en el sentido del vector
el siguiente límite si existe y es finito:
Para calcular este límite se toma el vector unitario 
de la dirección del vector 
(dividiéndolo por su módulo). Llamamos t a la longitud del vector 
, es decir
,con lo cual 
, de donde 
, y el límite se reduce a la única variable t
de la dirección del vector (dividiéndolo por su módulo). Llamamos t a la longitud del vector , es decir,con lo cual , de donde , y el límite se reduce a la única variable t
Si la función f(x, y) es diferenciable, entonces la derivada direccional se calcula por la fórmula:
(es decir la suma de los productos de las parciales por las componentes del vector unitario)
Si la función es de tres variables z=f(x, y, z) la derivada direccional se calcula de manera análoga:
(Las parciales habrá que calcularlas en el punto correspondiente. Las componentes del vector unitario coinciden con los cosenos directores del vector director. Si la función no es diferenciable esta fórmula no es válida y hay que calcular el límite anterior).
Se llama gradiente de una función z = f(x, y) en un punto P(x, y) al vector que sale del punto P y sus componentes son las derivadas parciales de la función en dicho punto
La derivada direccional se puede obtener como el producto escalar del gradiente por el vector unitario (si la función es diferenciable)
El gradiente indica el sentido de crecimiento más rápido de una función en un punto dado. La derivada direccional tiene su valor máximo en el sentido del gradiente y coincide con su módulo:
Si la función es de tres variables u = f(x, y, z) el gradiente se define de forma análoga:
Calcular, aplicando la definición, la derivada direccional de la función
en el punto P(1,2) en la dirección que apunta hacia el origen.Solución:
Hallamos el vector unitario de dirección y el punto genérico X.
Hallamos los valores correspondientes de la función:
Operando y simplificando obtenemos:
Calcular, usando las derivadas parciales, la derivada direccional de la función
en el punto P(1,2) en la dirección que apunta hacia el origen.Solución:
Hallamos el vector unitario de dirección.
Hallamos las derivadas parciales en el punto P(1, 2).
Hallamos el producto escalar:
Hallamos el vector unitario de dirección.
Hallamos las derivadas parciales en el punto P(1, 1).
;
Hallamos el producto escalar:
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