FUNCIONES DE DOS O MÁS VARIABLES
El dominio de estas funciones es un vector de n componentes y su rango es un número de los conjuntos de los reales.
$$f:{ R }^{ n }\rightarrow R\\ ({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 }{ ,...,x }_{ n })\rightarrow z=f({ x }_{ 1 },{ x }_{ 2 },..,{ x }_{ n })$$
- Si f(x,y)=z, el gráfico en R³ es una superficie.
- El dominio de la función f(x,y) será una región del plano XOY o todo el plano XOY.
- El rango o recorrido de f(x,y) es un conjunto de los escalares z que pertenece a los reales.
- A la gráfica f(x,y,z)=w no se puee representar en R³ pero seria una hipersuperficie. Solo se puede representar en el dominio de la función.

Dominio o Campo de existencia:
Para una funnción f(x,y) el dominio son todos los valores que cumplan con las condiciones que se tenga dependiendo de cada función.
Se debe realizar tres análisis
1.- Análisis matemático: Encontramos el dominio de manera analítica mediante inecuaciones.
2.-Análisis Gráfico.- Aplicamos lo solucionado anteriormente, se puede graficar primero en un plano cartesiano y de ahí aplicarlo en R³ o directamente en R³.
3.- Análisis Descriptivo.- Se describe el dominio en conclusión al gráfico y al análisis matemático.
CURVAS DE NIVEL
Las curvas de nivel de una función f(x,y) son las curvas cuyas ecuaciones f(x,y)=k, donde k es una constante(en el rango de f).
En el gráfico los valores: 300, 200, 100 y 0 son diferentes valores que toma k.
NOTA:
Si f(x,y,z)=k se generan las superficies de nivel
Si f(x,y,z,w)=k entonces se generan las hipersuperficies de nivel
LIMITES Y CONTINUIDAD
Se sigue la misma definición de límite que tenemos en las funciones de una variabe.
$$\lim _{ (x,y)\rightarrow ({ x }_{ o },{ y }_{ o }) }{ f(x,y) } =L\quad \leftrightarrow \forall \varepsilon >0,\exists \delta >O$$
$$\left| f(x,y)-L \right| <\varepsilon \rightarrow \left| (x,y)-({ x }_{ o },{ y }_{ o }) \right| <\delta $$
Donde:
$$\sqrt { { (x-{ x }_{ o }) }^{ 2 }+{ (y-{ y }_{ o }) }^{ 2 } } <\delta $$

Esta definición se aplica para cualquier punto que se acerque al punto cero por cualquier lado o ruta , formándose un entorno de acercamiento en forma de una circunferencia de radio delta.
Para que exista este límite se debe cumplir la teoría de existencia y unicidad, al calcular los límites de la función por distintas trayectorias se debe llegar a la conclusión de que todos son del mismo valor.
Para encontrar o demostrar que el límite existe, hay diferentes formas (por la complejidad al existir varias trayectorias de aproximación).
- Aplicando la definición de Limite: Mediante este método se requiere lograr que la ecuación de la función llegue a la forma:
- Asignando valores a x ^ y: Se da valores a x ó y tomando en cuenta las diferentes ecuaciones de curvas que se pueden aproximar a la función.
- Por coordenadas Polares: Se da valores a x^y en función de un angulo y un radio.
CONTINUIDAD:
Una función f(x,y)=z, se dice que es continua si cumple una condición:
$$\lim _{ (x,y)\rightarrow ({ x }_{ o },{ y }_{ o }) }{ f(x,y) } =f({ x }_{ o },{ y }_{ o })$$
Teniendo en claro que:
Exista $$f({ x }_{ o },{ y }_{ o })$$
Exista el límite de esta función
Si no cumple, entonces es discontinua y si es así puede ser evitable y se la re definiría o inevitable.
Son continuas evitables si:
$$\nexists f({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })\quad \wedge \exists \lim _{ (x,y)\rightarrow ({ x }_{ 0 }{ ,y }_{ 0 }) }{ f(x,y) } \\ \exists \lim _{ (x,y)\rightarrow ({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 }) }{ f(x,y) } \neq f({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 })$$
Son continuas inevitables si:
$$\nexists \lim _{ (x,y)\rightarrow ({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 }) }{ f(x,y) }$$
Las funciones de dos variables presentan curvas de discontinuidad.
DERIVADAS PARCIALES:
Las derivadas parciales de dos variables al igual que en el de una variable en un límite:
$$\frac { \partial f }{ \partial x } =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f(x+h,y)-f(x,y) }{ h } } \\ \frac { \partial f }{ \partial y } =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f(x,y+h)-f(x,y) }{ h } } $$
Existe el mismo numero de derivadas parciales que de variables independientes.
Interpretación Física:
Las derivadas parciales fisicamente representan una razón de cambio, cuando varia f si "x"
varia manteniendo fija a "y" o cuanto varia "y" si se mantiene constante a "x"
Interpretación Geométrica:

La derivada con respecto a x, es la pendiente de la recta tangente de la curva APB que se puede observar en la figura
Ecuación del plano tangente a la superficie z=f(x,y)en un punto P.
$$\vec { n } =\left( \frac { \partial f }{ \partial x } ({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 }),\frac { \partial f }{ \partial y } ({ x }_{ 0 },{ y }_{ 0 }),-1 \right) $$
$${ f }_{ x }(x-{ x }_{ 0 })+{ f }_{ y }(y-{ y }_{ 0 })-1(z-{ z }_{ 0 })=0$$
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